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Die Inverse

Nicht jede von Null (d. h. von der Nullmatrix) verschiedene Matrix $ A$ hat eine Inverse $ A^{-1}$, so dass

$\displaystyle A A^{-1} = A^{-1} A = I$ (5.2:1)

gelten. Einige Beispiele (selbst nachrechnen!):

$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}}\cr \frac{1...
...} & \frac{1}{\sqrt{2}}\cr -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix}1&0\cr 0&1\end{pmatrix} \; ,$    
$\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\cr 0&2&1\cr 0&0&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-0.5&0.1\cr 0&0.5&-0.1\cr 0&0&0.2\end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix}1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1\end{pmatrix} \; .$    

Jede Matrix, die eine Inverse hat, heißt invertierbar.

Eine Inverse im Sinne von (5.2:1) kann es nur bei quadratischen Matrizen geben. Bei nicht quadratischen Matrizen, etwa

$\displaystyle A=\frac{1}{4}
\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr 1&-1&1&-1\end{pmatrix} \; , \quad B = \frac{1}{4}
\begin{pmatrix}1&1\cr 1&-1\cr 1&1\cr 1&-1\end{pmatrix}$

ist zwar

$\displaystyle AB = \begin{pmatrix}1&0\cr 0&1\end{pmatrix} \; ,
$

aber das andere Produkt $ BA$ (berechnen Sie es selbst!) ist keine Einheitsmatrix mehr.

5.2.1 Aufgabe.

Zeigen Sie, dass die Matrix

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}0&1\cr 0&0\end{pmatrix}$

keine Inverse hat. Hinweis: Benutzen Sie (5.1:7).

Lösung.
Gäbe es eine Inverse $ A^{-1}$, so wäre

$\displaystyle AA^{-1}=I\; ,
$

multipliziert mit $ A$:

$\displaystyle A^2 A^{-1}=A\; .
$

Da aber nach (5.1:7) $ A^2$ verschwindet, hätten wir

$\displaystyle O=A\; ,
$

und das ist nicht wahr. Also gibt es keine Inverse.

5.2.2 Aufgabe.

Zeigen Sie, dass jede Matrix $ A$ höchstens eine Inverse haben kann.

Lösung.
Es sei $ AA^{-1}=I$, und es sei $ B$ eine weitere Inverse, d.h.

$\displaystyle BA=I\; .
$

Multiplizieren wir dies mit $ A^{-1}$, so ergibt sich

$\displaystyle BAA^{-1}=A^{-1}\; ,
$

wegen $ AA^{-1}=I$ folgt dann

$\displaystyle B=A^{-1}\; ,
$

d.h. die beiden Inversen sind gleich.

Kennt man die Inverse $ A^{-1}$ einer Matrix $ A$, so kann die Lösung des Systems $ Ax=b$ geschrieben werden als

$\displaystyle x=A^{-1}b\; .$ (5.2:2)

In der Tat ist

$\displaystyle Ax=A(A^{-1}b) =AA^{-1}b =Ib =b \; .
$

Die Formel (5.2:2) kostet nur eine Marix-Vektor-Multiplikation und ist somit schneller als das Gaußsche Eliminationsverfahren. Im Allgemeinen ist aber das Berechnen einer Inversen teuer. Nehmen Sie z.B.

>> n = 400;
>> a = rand(n); b = rand(n,1);
>> tic, x = a\b; toc
        .....
>> tic, xx = inv(a)*b; toc

und vergleichen Sie die Rechenzeiten.

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