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Differenzieren impliziter Funktionen

Manchmal wird eine Funktion einer Variablen implizit angegeben durch eine Gleichung

$\displaystyle F(x,y) = 0\;,$ (11.8:1)

wobei $ F$ eine gegebene Funktion zweier Variablen $ x,y$ ist. Hat (11.8:1) für jedes gegebene $ x$ genau eine Lösung $ y$, so wird durch $ y=y(x)$ eine Funktion $ y(x)$ definiert. Ihre Ableitung wird berechnet, indem

$\displaystyle F(x,y(x)) = 0$   für$\displaystyle \;\;$   alle$\displaystyle \quad x
$

als eine Verkettung abgeleitet wird mit

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\; \frac{dy}{dx} = 0$   für$\displaystyle \;\;$   alle$\displaystyle \quad x\;.
$

Daraus erhalten wir

$\displaystyle y'(x) = \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}\;.$ (11.8:2)

Diese Überlegung ist korrekt, wenn $ F$ eine stetige Funktion ist und $ \partial F/\partial y$ nirgendwo verschwindet.

11.8.1 Beispiel.

Wir berechnen $ y'$ für

\begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
&& F(x,y) = x - 2y^3 - 3y^5 - y = 0\;. \v...
...m} \\
&& y' = \displaystyle \frac{1}{6y^2+15y^4+1}
\end{array}\end{displaymath}

mit $ y=y(x)$, wobei die Funktionsregel $ y=y(x)$ explizit immer noch nicht vorliegt. Trotzdem kann daraus z.B. geschlossen werden, dass sie streng monoton wachsend ist, denn ihre Ableitung ist überall positiv!

11.8.2 Aufgabe.

(zur Lösung)
Berechnen Sie die Ableitung der implizit definierten Funktion $ y=y(x)$ mit

(i) $ \quad \ln x + e^{-y/x} = 2\;$,

(ii) $ \;\;  x^{2/3} + y^{2/3} = 1\;$.

Man beachte: eine Gleichung

$\displaystyle f(x_1,x_2) = 0
$

kann, wenn nichts weiteres spezifiziert wird, mehrere Funktionen definieren. Zum Beispiel nehme man die Gleichung des Einheitskreises

$\displaystyle x_1^2 + x_2^2 = 1\;,
$

sie definiert implizit die Funktionen

$\displaystyle x_2 = \sqrt{1-x_1^2}\quad,\quad x_2 = -\sqrt{1-x_1^2}
$

sowie

$\displaystyle x_1 = \sqrt{1-x_2^2} \quad,\quad x_1 = -\sqrt{1-x_2^2}\;,
$

damit wird jeweils ein anderer Teil des Kreises ''abgedeckt'' (s. Abb. 11.8-1).
Abb. 11.8-1     
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{figure=abb11_13a.eps, height=6.5cm}\end{center}\end{figure}


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